de

SECTION VI.
où l'on démontre les principales propriete
l’Ellipse décrite par des points trouvez

sur un Plan.
PROPOSITION I.

Theorême.

FIG. 58. XII.

U:

N E ligne droite AB, divisée par le milieu en C,

e deux points fixes F, G également distans du milieu C, ou des extrémitez A e B, étant donnée de

grandeur & de position ; si l'on prend entre F & G un point quelconque H, & que du centre F & du rayon AH; du centre G & du.rayon BH, l'on décrive deux cercles ; ces deux cercles

& se couperont en deux points M, m de part & d'autre de la ligne AB; puisque leurs demi diametres furpassent FH + HG. Et je dis que les points Mem, & tous ceux qui seront trouvez

de la même maniere , en prenant d'autres points H, leront à une Ellipse dont C est le centre , AB le grand axe , DE l'axe conjugué à l'axe AB, qui est double de la

moyenne proportionnelle entre AF & FB, ou AG & ĢB.

N

DEMONSTRATION. D'un des points M , trouvez comme on vient de dire, ayant abbaissé la perpendiculaire MP, mené FM & GM, & nommé les données AC, ou CB, a; FC, ou CG, 6; & les indéterminées CP, *; PM, Y; AP C

х; , уз fera 4=x; PB,a+x6FP , –x ou, x–58 PG, c+x. Il est clair

par

la description que FM + MG= AB = 2a; puisque FM=ÄH, & MG=HB; nommant donc la différence de FM,& MG, 2/; F M sera a & MG, a + f. Cela posé.

=

2

CC

= da

Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, 20x + xx + yy

2af + \, & CC + 20% + xx + yy=aa + 2a[+], & en ôtant la premiere de la seconde, le premier membre du premier & le second du second , l'on aura 4cx = 4as, d'où l'on tire S=*, & mettant cette valeur de S, & celle de son

s quarré s dans l'une des deux premieres équations, l'on 20x + xx + yy — ad

d'où l'on tire en réduisant, transposant , & divisant par aa — ,

CX

CCXX

aura cc

aa

сс

aayy

Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & (*) devient nulle, ou =0;

=
c'est

pourquoi en effaçant le terme xx , l'on a aa = - = yy=CD’, & partant y

+CD: nommant donc CD, b; l'on a , aa -=bb; d'où l'on tire a (AF).6(CD):: b (CD). a +((FB). Qui est une des choses qu'il faloit démontrer. Or mettant bb dans l'équation aa – xx = en la place de aa — cc l'on

CC =

CC =

a, da XX

Et comme cette équation est la même

que celle qu'on a trouvée ( Art. 9. no. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipse. Ce qui est une des autres choses proposées. Si dans l'équation aa

-, l'on faity=o, l'on aura xx=aa ; donc x= +a, ce qui fait voir

que

l’EIlipse passe par les points A & B. Et en faisant x=o l'on a trouvé y=+CD qui montre que l’Ellipse AM passe aussi par les points D & E, en faisant CE=CD; c'est

XX

aayy

pourquoi ( Art. 9.no. 6.) AB, est le diametre principal de
I'Ellipse; D E son axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il
faloit enfin démontrer.

On peut résoudre cette équation aa — xx
le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa — CC
puis faire cette analogie , B.a + x.y::y.

a + x
On fera ensuite cette

aa

cd Par

CC =

aayy

yy

aaz

zo

& l'on aura aa

CC

ad

aa

FIG. 59.

و و

=

autre analogie, D. a-x.a::a. =u, & l'on aura

CC = zu.
Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, k, 10. d'un
rayon qui ne soit
pas moindre que

la moitié d'AB= 24
décrivez le cercle ABG, inscrivez-y la corde AB=2a,
sur laquelle vous prendrez AD= a +c, & DB=a-

= =ato
par le point D menez une autre corde EG. Et parce que
dans l'ānalogie D, a est plus petit que u, il faut prendre
DG= u plus grand que ĀB.
A présent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura
XU = da, ou, au

ux ; ainsi nous aurons
certe analogie E. u. a :: a.x. On trouvera x en faisant
F16. 60. l'angle CAF, & prenant AF=u, BF = u — a, AC
&

U-
=a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x.
FIG. 61.

Enfin

pour avoir y , menez , à cause de l'analogie B , la ligne À B, sur laquelle vous prendrez AD= a + x ( AK + DC), DB=2. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y.

=

D E'FINITIONS.
Fig. 58.

Les points F & G sont nommez les foyers de l'Ellip-
se; CP, l'abcisse, ou coupée , & PM,ou Pm l'ordonnée, ou
l'appliquée à l'axe AB.

аа

CC =

aayy

COROLLA IRE I. 2. IL est clair que les lignes FM ,GM menées des foyers à la circonference de l’Ellipse sont , par la description, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = PM.

COROLLAIRE I I. 3. Il est ausli évident que le ređangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé

CD?. Or aa CC =a + cxa-6, AFX FB=CD. COROLLAIRE II I.

Ι 4. On voit par les termes de l'équation as — xx =

& par les signes + & qui les précedent que x croissant, y diminue : car plus x devient grande , plus aa -- xx diminue , & par consequent aussi yy ; puisque les quantitez constantes aa , & bb demeurent toujours de mê.

, me grandeur ; ce qui fait voir que les points M & m de l’Ellipse, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit aussi que l'on ne peut augmenter x que jusqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel xx devient

consequent aussi y = 0, ce qui fait voir que les points M &m

у se confondent alors avec les points A & B , & que l’El. lipse coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué.

COROLLAIRE I V. s. L'EQUATion à l’Elipse aa — *x =

aayy étant réduite en analogie donne aa — xx (AP PB). yy (PM) :: aa ( AC?). bb (CD) :: 41a ( AB%) 466 (DE), c'est

( à-dire que le rectangle des deux parties AP, P B de

bb

cas da

= aa — aa = 0;

& par

bb

V.

abb

aussi a.

ز

aap;

66

XX =

y

aura aa

XX =

P

l'axe A B faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM : comme le quarré de l'axe A B est au quarré de l'axe conjugué DE.

COROLLAIRE 6. SI I l'on fait AB ( 20 ). DE (26):: D E ( 26).266,

266 la ligne 244 que je nomme p-p sera ( Art. 9.no. 13 ,) le pa

, rametre de l'axe AB. Or puisque a.b::b. 1 p, l'on a

P
į p :: aa . bb ;
donc abb =

donc as C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa 46%", en la place desh, sa valeur *, l'on

2a zap? ; d'où l'on tire cette analogie aa – xx ( AP ® PB ). yy ( PM2):: 2a ( AB). P, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites

par l'appliquée, est au quarré de l'appliquée ; comme le même axe, est à son

parametre.
COROLLA IR E.

VI.
7.

Il fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe A B par son parametre est égal au quarré de l'axe conjugué D E; puisque AB. DE:: DE.p.

COROLLA I RE VII. 8. SI au lieu de ou de on met un autre raport

bb

P

myy
égal comme
l'on aura, aa

c'est

pourquoi l'on fera sur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques suivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue.

REMARQUE I. 9. Lorsque l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipse est égal & semblable au terme connu ; ou ce qui est la même chose, li cet antécédent renferme les mêmes lettres que

le