5. COROLLAIRE IV. anyy étant bb L'EQUATION à l'Ellipse aa— xx = réduite en analogie donne aa -xx (AP × PB ). yy (PM2): aaAC2). bb (CD) :: 4aa (AB2). 466 4bb (DE), c'est-à-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM est au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB eft au quarré de l'axe conjugué DE. COROLLAIRE V. 6. Si l'on fait AB ( 2a ). DE ( 2b) :: DE (26), 266, la ligne = 2bb que je nomme pfera (Art. 9 no. 13) le pa rametre de l'axe AB. Or puifque a. b::b. P, l'on a 2 bb zayy; d'où l'on tire cette analogie, aa — xx .( AP × PB) . yy ( PM2 ) :: 2A ( AB ). p, c'est-à-dire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'apliquée eft au quarré de l'apliquée ; comme le même axe, eft à fon parametre. COROLLAIRE VI. 7. IL fuit du Corollaire précedent que le rectangle de l'axe AB par fon paramètre eft égal au quarré de l'axe conjugué DE; puifque AB. DE DE . p. m on met un autre rapport myy égal comme l'on aura, aa-xx= ; c'eft pour n quoi l'on fera fur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques fuivantes, aprés avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue. REMARQUE I. 9. LORSQUE l'antecedent du rapport qui accompa gne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipfe eft égal & femblable au terme connu, ou ce qui eft la même chofe, fi cet antecedent renferme les mêmes lettres que le terme connu de l'équation; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du confequent exprimera lê demi diametre conjugué. REMARQUE II. IO. LORSQUE cet antecedent eft le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties ; & le confequent exprimera fon parametre. REMARQUE III. 11. E N tout autre cas ce rapport marque le rapport du diametre, dont une partie eft exprimée par l'autre inconnue, à fon parametre, ou le rapport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela eft évident ('n'. 6 & 8 ). 12. Doù il fuit qu'une équation à l'Ellipfe renferme les expreffions des deux diametres conjuguez,qui forment la parallelogramme des coordonnées ou de l'un de ces diametres,& de fon parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à fon parametre: de forte qu'on aura toujours les deux díametres conjuguez par le moyen de l'équation. aayy le terme bb Par exemple, dans l'équation aa-xx= connu aa eft le quarré du demi diametre AC;l'antecedent aa du rapport qui accompagne yy eft semblable & égal au terme connu aa; c'eft pourquoi le confequent beft le quarré du demi diametre conjugué CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa - xx P bb I 24yy l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aa; 2a fera le diametre AB,& P fon parametre: & partant, fi l'on fait 2a. p;: aa. fera l'expreffion du quarré du demidiametre conjugué CD; & partant CD=Vap. Enfin dans l'équation aa— xx— ap; 2 ap myy aa exprime le quarré du demi diametre AC dont n les parties CP font nommées x; & partant AB 2a. Mais pour avoir l'expression du demi diametre DE con naa jugué au diametre AB, l'on fera m . n :: aa . ; & m partant ✓aa=CD, & 2√aa=DE. Et pour avoir l'expreffion du parametre du diametre AB, l'on fera 13. I COROLLAIRE. IX. Si l'on nomme AP, x; BP fera, 2a —x, & l'on aura (no. 5) 2axxx (AP × PB). yy (PM) :: aa { AC2). bb (CD2); donc 2ax-xx= aayy bb› qui montre que lorfque les indéterminées n'ont point leur origine au centre de l'Ellipfe, il fe trouve des feconds termes dans fon équation, & qu'une équation locale appartiendra toujours à l'Ellipfe, lorsqu'elle renfermera deux quarrez inconnus, l'un defquels ou tous deux feront accompagnez de quelque quantité connue, & auront differens fignes dans les deux membres de l'équation, ou même figne dans le même membre, quelque mêlange de conftantes qu'il s'y rencontre, & pourvû que les deux inconnues ne foient point multipliées l'une par l'au tre.. COROLLAIRE X. 14. S1 dans l'équation à l'Ellipse aa — xx — zax - xx aayy bb > aayy ,a= b; l'on aura aa— xx=yy; bb d= ou ou 2ax — xx=yy; qui eft une équation au cercle, pourvû que les coordonnées x & y falent un angle droit : car Pune & l'autre de ces deux équations donne AP × PB PM' qui eft la principale proprieté du cercle. D'où l'on voit auffi que l'équation à l'Ellipfe ne dif fere de celle du cercle, qu'en ce que l'un des quarrez inconnus eft accompagné de quelque quantité connue dans l'équation à l'Ellipfe,& qu'ils en font tous deux délivrez dans l'équation au cercle. En effet le cercle peut être regardé comme une Ellipfe dont les foyers font confondus avec le centre, & dont tous les diametres font par confequent égaux entr'eux, & à leurs parametres. Dans l'équation au cercle aa-xx = yy, les coordonnées ont leur origine au centre, & dans celle-ci, 2ax xx=yy, l'origine des coordonnées n'est point au -- centre. N PROPOSITION II. Theorême. 15. LES mèmes chofes que dans la premiere Propofition étant fuppofees. Je dis que l'appliquée FO au foyer F est égale à la moitié du parametre de l'axe AB. c (CF), le point P tombera enF, & PM deviendra FO; & l'on aura aa— cc yyaa - d'où l'on tire y= = (no. 6 ) —— p. C. Q. F. D. 2 16. LES deux axes conjuguez AB, DE d'une Ellipfe étant donnez, trouver les foyers F, &G. Soit du centre D, extremité de l'axe conjugué DE; & du rayon AC, décrit un cercle qui coupera AB en deux points F & G qui feront les foyers qu'il falloit trou ver. DEMONSTRATION. PAR la construction FD+DG=AB; donc (no. 2) PROPOSITION IV. 17. LE grand axe AB d'une Ellipfe & les foyers F & G étant donnez déterminer l'axe conjugué à l'axe ÁB, |