fous A, & le diviseur a fous B. Je divife aab+abb encore par a, & j'écris le Quotient ab+ba, & le diviseur b fous A, & fous B. Je divife ab+bb par b, & j'écris le Quotient a+b, & le diviseur b sous A, & fous B. Enfin je divise a+b par a + b ; & j'écris le Quotient 1, & le diviseur a+b, fous A & fous B. J'acheve l'operation comme celledes nombres, & je trouve tous les diviseurs de la quantite as aabb au-deffous de B.

RESOLUTION.

Des puissances, ou de l'extraction des racines des quantitez algebriques.

58. EXTRAIRE la racine d'une puissance, ou d'une quantité algebrique, c'eft trouver, par une operation contraire à celle de la formation des puiffances, une quantité plus fimple que la propofée, qui étant multipliée par elle-même, autant de fois qu'il eft neceffaire, produife la puiffance ou la quantité propofée.

Il y a autant de fortes de racines,qu'il y a de puiffances, & l'on donne à chaque racine le nom de la puiffance à laquelle elle fe rapporte. Ainfi la quantité qu'il ne faut multiplier qu'une fois par elle-même pour produire la quantité ou la puiffance dont elle eft la racine, eft nommée racine quarrée, ou feconde racine; celle qu'il faut multiplier deux fois par elle-même, pour produire la puiffance dont elle eft la racine,eft appellée racine cube,ou troifiéme racine; celle qu'il faut multiplier trois fois, eft nommée racine quarrée quarrée, ou quatrième racine; celle qu'll faut multiplier quatre fois racine quarrée cube, ou cinquième racine; celle qu'il faut multiplier cinq fois, racine cube cube, ou fixiéme racine, &c.

On fe fert de ce caractere qu'on appelle figne radi cal, pour fignifier le mot de racine: mais pour le déterminer à fignifier une telle racine, on y joint l'expofant de la puiffance à laquelle fe rapporte la racine en question, & cet expofant eft alors appellé expofant du figne radical. Ainfi ✔, ou fimplemeut V, fignifie ra

cine

cine quarrée, ou feconde racine; V, fignifie racine cube, quatrième racine, &c. De forte que√ab, ou√aa+bb, Vaa+zab→ bb, fignifie qu'il faut extraire la racine quarrée de ab, ou de aa bb, ou de aa + zab + bb, &c.

Il y a des quantitez dont la racine propofée s'extrait exa&ement; d'autres, dont on ne la peut extraire qu'en partie;& d'autres, dont on ne la peut point du tout extraire.

59. Les quantitez dont on ne peut extraire exactement da racine, & qu'on eft obligé d'exprimer par le moyen du figne radical, font nommées, fourdes, ou irrationnelles, & celles qui ne font affectées d'aucun figne radical, font nommées rationnelles. Ainfi Vab, Vää+bb, font des quantitez irrationnelles, parceque l'on n'en peut pas extraire la racine quarrée; Vaab est une quantité irrationnelle, parceque l'on n'en peut pas extraire la racinę cube; &c,

EXTRACTION

Des racines des quantitez incomplexes 60. PUISQUE (no. 22. ) pour élever une quantité in, complexe à une puiffance donnée, il faut multiplier les expofans de cette quantité par l'expofant de la puiffance propofée, il eft clair que pour extraire la racine propofée d'une quantité incomplexe, il n'y a qu'à divifer les expofans de cette quantité par l'expofant du figne radical convenable, ou, ce qui revient au même,multiplier les expofans de la quantité propofée par une fraction dont le numerateur soit l'unité, & le dénominateur foit l'expofant du figne radical dont il s'agit, c'est-à-dire, par—, s'il s'agit de la racine quarrée ; —, s'il s'agit de la racine

4

I

cube ; —, s'il s'agit de la racine quarrée quarrée, &c: car les dénominateurs 2, 3 & 4 font les expofans des fi

d

2 3 4

radicaux V, V, V, &c. L'on rend par-là l'operation gnes de l'extraction des racines, femblable à celle de la formation des puissances, & l'on a des expofans pour les racines auffi bien que pour les puiffances: carest l'expo

3

fant de la racine quarrée; ——, l'exposant de racine cube; , l'expofant de la racine quarrée quarrée, &c. & l'on peut par confequent énoncer l'extraction des racines, en difant qu'il faut élever une quantité donnée à la puissance

I

I

&c. au lieu de dire qu'il en faut extraire la racine quarrée, cube, quarrée quarrée, &c.

3

Si aprés la multiplication des expofans de la quantité propofée par les fractions dont on vient de parler, les expofans qui font alors fractionnaires, fe peuvent tous réduire en entier, la racine propofée fera une quantité rationnelle; fi une partie de ces expofans fe peut réduire en entier, & que l'autre partie demeure fractionnaire, la racine ne fera extraite qu'en partie, & l'on mettra la partie rationnelle devant le figne radical, & la partie irrationnelle aprés; fi tous ces expofans demeurent fractionnaires, la racine ne fera point extraite, & l'on se contentera de mettre le figne radical devant la quantité propofée; enfin fi les expofans fractionnaires qui ne peuvent être réduits en entier furpaffent l'unité, la puiffance de la lettre dont ils font expofans, fera en partie rationnelle, & en partie irrationnelle. Il faudra operer fur les coéficiens, comme fur les lettres, en y employant les extractions numeriques des racines, & la Méthode de trouver tous les divifeurs d'un nombre,expliquée no. 56. Tout ce qu'on vient de dire fera éclairci par les Exemples qui fuivent.

EXEMPLES.

61. SOIT a2 b c dont il faut extraire la racine quarrée, ou qu'il faut élever à la puiffance; ayant multi

2 4 6

plié les expofans 2, 4 & 6 par, l'on aura a2 b2 c2 ou ab3é3 aprés avoir réduit les expofans fractionnaires en entier, de forte que √a2b+c=ab2, ce qui est évident.

De même, Vab=ab=a√b: car a eft la racine de

2

I

aa, ou a“, & ¿ìest la même chose que √b ; Vab

=

a = b2 = √ab; c'est-à-dire quevab est une quantité toute

31 I

irrationnelle; Va3b — a2b2 — a

I

I I

ar

I

I

+ 26 2 = (n°. 23.)

à àì‍b2 = a√ab;√72 a3b3— 6ab√2ab: car il est clair par les Exemples précedens, que √a'b' —ab√ab, & jẹ démontre que √72 6V2 en cette forte. Si l'on cherche (no. 56) tous les diviseurs de 72, & qu'on examine tous les quarrez qui s'y rencontrent (s'il s'agiffoit de la racine cube, il faudroit examiner tous les cubes, & ainfi des autres racines) on trouvera que 36 eft le plus grand, Or = 2 & 36 × 2 = 72; c'est pourquoi√72 peut être regardée comme le produit de V36 × √2: mais√36—6; 6ab√zab. On donc √72 = 6√2, & partant √72 a3b3 trouvera de même que√12aab=2a√3b,& que√6aabc= av 6bc; parceque 6 ne peut être divifé par aucun quarré, ll en eft ainfi des autres.

72

36

EXTRACTION

Des racines des Polynomes.

62. LA Méthode d'extraire les racines des Polynomes, felon la maniere ordinaire, est semblable à celle d'extraire la racine des nombres,

Τ

EXEMPLE I.

So IT la quantité aa ✦ zab + bb → zac + 2bc + cc s dont il faut extraire la racine quarrée.

Je dis, le premier terme aa eft un quarré, dont la racine eft a que j'écris au Quotient, & je fouftrais le quarré de a qui est aa du premier terme aa de la quantité propofée, en l'écrivant au-deffous avec le figne. Je réduis à la maniere de la divifion la quantité propofée, & le quarré fouftrait, & j'écris la Réduction A au-dessous d'une ligne.

Je double le Quotient a, ce qui me donne za que j'écris à la gauche de la Réduction A, & qui fait partie du premier divifeur. Je divife le premier terme+ zab de la quantité Apar 2a; ce qui me donne + b que j'écris au Quotient, & à la droite du diviseur 2a, & j'ai le premier divifeur complet 2a+b que je multiplie par le nouveau Quotient b, & j'ai plus zab+bb que je fouftrais de la quantité A, en l'écrivant au-deffous avec des fignes contraires, & la Réduction de ces deux quantitez me donne la quantité B. Je double le Quotient a+b, & j'ai 2a+26 pour une partie du nouveau divifeur que j'écris à la gauche de B. Je divife de nouveau le premier terme 2ac de la quantité B par + za, ce qui me donne que j'écris au Quotient, & à la droite du nouveau divifeur 2a 2b; ce qui fait 2a + 2b+c pour le fecond divifeur complet. Je multiplie ce fecond divifeur 24

c