EXEMPLE S. Soit l'équation propofée xx-20x=300. =-36 17 On voit aifément par-là que la plus petite valeur qu'on puiffe fuppofer pour avoir un homogene➡o, c'est x=10, & par confequent x=21 donnera le premier homogene pofitif tel que je le fuppofe toûjours, & il peut & doit toûjours l'être, & s'il ne l'étoit pas dans une équation pro. pofée, il feroit aifé de le rendre pofitif en changeant tous les fignes des termes affectez de l'inconnuë. Enfin si par la nature de l'équation les racines font toutes negatives, on les rendra pofitives par le changement des fignes fuivant les regles ordinaires. Je reviens à l'exemple cy-deffus xx-10x=300, où j'ay fuppofé x=1=2=3, &c. Je vois par les differences premieres 17, 15, 13, &c. qui vont toûjours en diminuant de 2, qu'au neuf & dixiéme termes cette difference fera 1, aprés quoy les homogenes negatifs vont en diminuant dans un fens contraire jufqu'à zero, comme on voit cy-deffous, & enfuite ils font tous pofitifs. xo, donc xx—20x— Ο 19 &c. Cette observation, qui n'eft que curieuse dans cet exemple, eft abfolument neceffaire dans d'autres, où la haute puiffance eft fort élevée, où il y a plufieurs termes moyens affectez des fignes &- avec de grands nombres pour coëfficiens; & fi le premier homogene pofitif trouvé est plus grand que l'homogene donne, la racine eft irrationelle, & on pourra en approcher à l'infini par les équations geometriquement femblables. Ainfi fi l'équation donnée eût été x x — 20—18, -2018, on feroit affuré que la racine eft irrationelle entre 20 & 21, & il n'y auroit qu'à supposer, xx-200x1800 ou xx-2000 x 180000 &c. ou telle autre équation qu'on voudroit geometriquement femblable. Il y a pourtant un choix à faire indépendamment de la progreffion décuple des nombres qui paroît la plus commode, mais qui n'approche pas le plus promptement qu'il foit poffible. C'eft ce que j'ay fait voir dans mon Traité de l'Extraction & de l'Approximation des racines. On trouvera donc toûjours aifément la plus petite valeur d'x, qui donnera un homogene pofitif. Car fi l'homogene negatif va en diminuant, on verra par les differences à quel terme il fera pofitif; & s'il va en augmentant, il faut neceffairement qu'il diminuë en fens contraire avant que de devenir pofitif. Ainfi aprés deux ou trois fubftitutions dans les équations du second degré, aprés trois ou quatre fubftitutions dans les équations du troifiéme, & ainfi de fuite en divifant par les dernieres differences égales les differences précédentes, le quotient dans le fecond degré, ajoûté à l'unité, donnera la valeur approchée en entiers, qui formera le plus grand homogene negatif, & par confequent le double donnera la valeur approchée pour former l'homogene pofitif, du moins à une unité prés. Dans les degrez plus élevez, on trouvera de même par la difference toûjours égale le terme où la difference précédente doit finir, & par celle-cy le terme de la précédente, en retrogradant de même jufqu'à l'ho mogene. Je fçay que dans chaque cas particulier on peut donner des regles abregées pour trouver cette premiere & plus petite valeur d'x qui donne un homogene pofitif; ainsi dans l'équation xx-ax-b il n'y a qu'à prendre d'abord xa1. Mais il s'agit icy de trouver une methode qui foit en même tems tres-fimple & tres-generale, & fi l'on avoit par exemple cette équation, x2-ax^ + bx3- cxx - d x = e il ne feroit pas aifé de trouver d'une maniere generale la plus petite valeur d'x qui donnât e pofitif, même en y appliquant la methode de maximis & minimis; au lieu qu'en luppofant x=1=2=3, &c. les dernieres differences feront toûjours 2 dans le second degré, 6 dans le troifiéme, 24 dans le quatrième, 120 dans le cinquième, &c. & par-là on trouvera aifément ce qu'on cherche. Lorsqu'on fuppofe x1, la fomme des coëfficiens po. fitifs moins la fomme des coëfficiens negatifs donnera l'homogene de comparaifon correfpondant. Lorfqu'on fuppofe x=2, il faut écrire 2 multiplicateur fous le coefficient des x, 4 fous le coefficient des xx, 8 fous le coefficient des x3, 16 fous le coëfficient des x*, & ainfi de fuite, la fomme des produits pofitifs diminuée de la fomme des produits negatifs donnera l'homogene corref pondant. Lorsqu'on suppose x=3, il faut écrire 3 sous le coëffi 1705. PP cient des x, 9 fous le coëfficient des xx, 27 fous le coeffi cient des x3, & ainfi de fuite. Rien n'empêche qu'on ne prenne au lieu des nombres 1, 2, 3, 4, &c. les nombres 10, 20, 30, 40, &c. ou 100, 200, 300, &c. ou 1000, 2000, 3000, &c. fi l'on juge que ceux-cy donneront plutôt des homogenes pofitifs & approchants par excés ou par défaut de l'homogene donne, la fubftitution en fera auffi aifée que celle des nombres fimples 1, 2, 3, &c. En un mot, il n'importe quels nombres on prenne en progreffion Arithmetique, la methode peut toujours s'y appliquer. Mais dés qu'on a trouvé des homogenes pofitifs, il faut revenir à la progreffion Arithmetique, en augmentant ou en diminuant les valeurs d'x, felon que l'homogene trouvé est plus petit ou plus grand que l'homogene donné. Enfin, fi augmentant continuellement les valeurs d'x, Phomogene après avoir augmenté diminuë, & que dans fa plus grande augmentation il foit encore plus petit que l'homogene donné, c'eft une preuve que l'équation est impoffible, & que toutes fes racines font imaginaires. Par exemple, foit l'équation propofée -xx-20x120, fuppofant x=123, &c. on trouve la fuite des homogenes 19,36, 51, 64, 75, 84, 91, 96, 99, 100, 99, 96, 91, &c. 19, 0, & enfuite les homogenes font negatifs à l'infini, de forte que le plus grand de tous eft 100. Or le donné eft 120, l'équation eft donc impoffible, & toutes les racines font imaginaires. Quoique cette regle foit tres-fimple & tres-generale, elle a befoin dans la pratique d'être ab bregée par la Regle fuivante. REGLE GENERALE pour la réfolution des équations. Je fuppofe l'équation préparée à l'ordinaire, enforte qu'elle n'ait qu'une inconnue délivrée des fractions & des incommenfurables, & pour plus grande facilité le coëfficient de la haute puiffance réduit à l'unité, fans qu'il foit neceffaire de faire évanouir aucun terme moyen. Prenez pour valeurs de l'inconnue les deux nombres entiers & a1. (Je donneray dans la fuite les regles neceffaires pour faire cette fuppofition la plus jufte qu'il foit poffible par rapport à chaque efpece d'équation) enforte que les homogenes de comparaifon foient pofitifs; & fubftituant • ces deux valeurs dans l'équation, vous aurez deux homogenes. Si l'un des deux se trouve égal à l'homogene donné, ou que l'un fe trouve plus grand & l'autre plus petit, l'équation eft réfoluë; car dans le premier cas xa ou a1, & dans le fecond une des valeurs eft irrationelle entre a & a±1, & on peut en approcher à l'infini par le moyen des équations geometriquement femblables. On peut auffi dans toute équation où il y a quelque racine réelle negative, la rendre pofitive en augmentant sa valeur, enforte que l'homogene de comparaison foit auffi pofitif, & qu'il n'y ait qu'une racine à chercher. C'est la forme la plus commode pour le calcul. Les équations dont les racines font toutes imaginaires ne font d'aucun ufage. Si l'homogene donné fe trouve plus grand ou plus petit que chacun des deux homogenes trouvez, ce qui eft le cas le plus ordinaire: Prenez, 1°. La difference des deux homogenes trouvez. 2°. La difference de l'homogene donné à l'homogene trouvé prochainement plus grand ou plus petit. 3°. Divifez cette derniere difference par la premiere, & ajoûtez le quotient au nombre a s'il eft plus petit, ou bien ôtez ce quotient d'a s'il eft plus grand que la racine cherchée, & la fomme dans le premier cas, & la difference dans le fecond donneront une feconde valeur approchée, laquelle étant fubftituée donnera un nouvel homogene, fur lequel & fur le donné & le prochaine. ment plus grand ou plus petit, on continuëra d'operer de même en faifant cette Analogie, qui eft fous-entendue dans la premiere operation. Si tant de difference entre deux homogenes vient de tant de difference entre les racines qui les ont formez, de combien viendra la difference entre l'homogene donné & le trouvé prochainement plus grand ou plus petit? Le |