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montrer que les bafes BC, EC, bafes de l'Angle BAC, qui fe joignent au point de contingence C, font antiparalleles, fuivant la troifiéme difpofition. Or cela n'eft pas difficile Î'Angle ECA, eft infcript, & a pour

car B

E

G

A

D

mefure la moitié de l'arc EGA, qui eft auffi la mefure de l'Angle ABC, alterne de l'Angle du petit Segment; & l'Angle A EC; eft un Angle droit, puifqu'il eft appuié fur la demi-circonference, & par confequent égal à l'Angle BCA, formé par une tangente & par le diametre; donc la ligne AB, eft au diametre AC, comme le diametre AC, à la portion AE, & ainfi de toute autre ligne & fa partie dans le cercle. Troifiéme Cas. Lorsque la perpendiculaire coupe le diametre prolongé hors du cercle.

En ce cas les deux lignes AE, AC, H font l'une & l'au

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A

D

la portion AB, foient joints les points B, D, il n'y a qu'à démontrer que les bafes EC, BD, font antiparalleles; cela eft vifible, puifque l'Angle BDA infcript, a pour mefure la moitié de l'arc BGA, & que cette même moitié eft la mesure de l'Angle CEA, alterne de l'Angle du petit Segment HAB.

SECONDE PROPOSITION.

Si deux Angles, oppofés au Sommet, ont des bafes antiparalleles, l'on aura des lignes réciproques, comme l'on peut voir en la Figure qui fuit.

Je fup

pofe que les deux

G......

Angles BAC, DAE I oppofés au Som

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met A, ont leurs

D

B

C

F...

H

F

bafes BC, DE, tellement difpofées, que l'Angle dont le fommet eft en D, soit égal à l'Angle dont le Sommet eft en B, & par confequent que l'Angle dont le Sommet eft en C, foit égal à l'Angle dont le Sommet eft en E. Dans cette difpofition, l'on voit que ce font les Angles de même côté qui font égaux, aulieu que fi les bafes étoient paralleles, ce feroient les Angles alternes qui feroient égaux, & je dis que la ligne AC, eft à la ligne AB, comme la ligne AE, eft à la ligne AD; en forte que la ligne totale DC, eft coupée réciproquement à l'égard de la totale BE; c'eft-à-dire, que les portions AC, AD, font les Extrêmes d'une Proportion; donc AB, AE, font les Moiens: Pour le démontrer,

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mera deux efpaces paralleles, il eft évident par la conftruction, que la ligne AC, eft autant inclinée dans fon efpace que la ligne A E, l'eft dans le fien, à cause de l'égalité des Angles AED, ACB; de même la ligne AB, eft autant inclinée dans le premier espace, que la ligne AD, l'eft dans le fecond; donc la ligne AC, eft à la ligne AE, comme la li gne AB, eft à la ligne AD

COROLLAIRE.

B

F

Si deux cordes fe coupent dans le cercle, elles fe coupent réciproquement. Soient les deux cordes AB, CD, qui fe coupent dans le cercle au point E; je dis que A E, eft à ED, comme EC, eft à E B.

Cela eft évident; car tirant les bafes AD, CB, elles font

C

D

antiparalleles, puifque l'Angle D CB, & l'Angle DAB, font appuiés fur le même arc B FD, dont la moitié fait leur mefure, cela donne une nou

velle démonftration pour trouver la moïenne proportionelle entre deux lignes données ; car faifant des deux lignes données, mifes bout à bout, le diametre d'un cercle, & élevant une perpendiculaire au point où elles fe joignent, cette perpendiculaire terminée par la circonference, fera la moitié d'une corde coupée réciproquement avec les parties du diametre, & par confequent moïenne proportionelle, puifqu'elle fera coupée en deux parties égales.

TROISIEME PROPOSITION.

Si d'un point hors du cercle, l'on tire deux lignes terminées à la circonference concave; chaque toute & fa partie hors du cercle eft réciproque à chaque autre toute, & fa partie hors du cercle.

Il faut démontrer que la ligne AD, eft à la ligne AE, comme la ligne AC, eft à la ligne AB, & pour cela, il n'y a qu'à faire voir que les bafes DE, BC, font antiparalleles.

L'Angle EDB, a pour mefure la moitié de l'arc BCE, & l'Angle BCA, a pour mefure la moitié de l'arc B FC, plus la

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moitié de l'arc CGE, qui eft la même chofe, par la troifiéme Propofition du cinquiéme Livre.

QUATRIEME PROPOSITION.

Si l'une des deux lignes tirées du point A, eft eangente, elle fera moïenne proportionelle entre l'au tre toute & fa partie hors du cercle.

Il n'y a qu'à faire voir que les bafes BC, BD, bafes de l'Angle BAD, font antiparalleles, fuiyant la troifiéme difpofition.

L'Angle CDB, est infcript, & a pour mefure la moitié de l'arc BEC, laquelle eft auffi la mefure de l'Angle CBA, Angle du Seg

B

A

D

ment. On démontrera de même que l'Angle DBA, eft égal à l'Angle BCA.

PROBLEME.

COROLLAIRE.

Connoître la longueur du diametre de la Terre

fans obfervation Aftronomique.

Je fuppofe que le point 4, foit le fommet d'une montagne fituée fut le bord de la mer D, & que l'on connoiffe la ligne AD, qui eft l'élevation du fommet de la montagne par-deffus le plan de la mer. Je regarde du point A, en pleine mer, tant que la vûë peut s'étendre, en forte que mon raïon vi

B

A

fuel AB, faffe une tangente au point B, enfuite de quoi mefurant mécaniquement la longueur de

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